宝くじなどの当選額の計算方法。宝くじ一枚の「期待値」を計算

2021年4月30日その他・雑学その他

宝くじなどを買うとき「いったいいくら当たるのか？」と思う人もいると思います。

そんなときは「期待値」を計算すれば、暫定当選額を計算できます。

これは確率から量などを計算する場合、いろんな場面で利用できる計算方法です。

宝くじだけでなく、ゲームでのクリティカルダメージなどの計算でも使えたりします。

「期待値」とは？

「期待値」と少々大仰な名前ですが、いってしまえば全体の量に対する平均値のことです。

しかしここに「確率論」などが絡んでくるため、この期待値をややこしくしています。

簡単な計算方法は以下の通り。

計算する対象によって各項目を計算する必要はありますが、計算方法の概念はコレです。

例えば、「想定される量」は宝くじの当選金額。

「確率（回数）」はそれがどのくらいあるのか。

「全体の量」は宝くじの販売枚数です。

…これだけだとわかりにくいので、実際に例を交えて解説していきます。

宝くじの期待値

宝くじの期待値の計算方法

まずは宝くじの期待値の計算方法です。

この期待値は宝くじ1枚にどの程度の当選額（価値）があるのかを計算できます。

まずは、この宝くじでの期待値は以下のようになります。

たったこれだけ。

計算式から「宝くじ1枚」の平均を出していると分かると思います。

例えば、以下のような条件の宝くじ「A」があるとします。

Aの宝くじは、販売枚数が1000枚に対し、当たりくじは50枚。

「当たるか否か」で計算すれば、確率は5%です。

しかし「実際に当たるだろう金額（期待値）」となると話は別になります。

では、実際の計算してみましょう。

まずは当選金額の全額を計算します。

合計すると以下の金額に。

例えば、この宝くじ全部を買い占めたとすれば、当選金額は合計146万円になります。

では宝くじ1枚の価値（期待値）はどうなるか？

この金額から、宝くじの枚数を割っていきます。

つまり、この宝くじの場合は宝くじ1枚あたり1460円の当選金額が期待できるということ。

このケースでは、1枚1000円で販売しているなら460円の儲けが。

しかし1枚2000円で販売していれば560円の損になると推測できます。

別の宝くじとの比較

では以下の条件の場合の宝くじ「B」では、どちらが儲けが出ると考えられるか？

販売枚数が3000枚、当たりくじは100枚に。

当選確率は3%と減っていますが、当選金額は倍以上になっています。

ではこの場合の期待値はどうなるのか？

この宝くじでは1枚あたり1666円が推定される当選金額です。

仮にくじ1枚の値段が最初の宝くじと同じなら、こちらの宝くじのほうが当選金額は期待できることになります。

自分で選ぶ宝くじは？

補足として、「ロト6」や「ナンバーズ」のように、自分で数字を選らぶ宝くじはどうなるか？

これは「販売枚数」を「総組み合わせ数」に変えて計算すればOKです。

例えば「1～43の数字から、6つ選ぶ」ロト6の場合の組み合わせはこうなります。

ロト6では約610万もの組み合わせがあります。

あとはこの数値を「販売数」に当てはめるだけです。

ただこれは各数字の組み合わせを1通りのみ選んだ場合です。

同じ組み合わせが2つ以上あると、計算が少々ややこしくなるので。

サイコロの期待値

サイコロの期待値の計算方法

「確率」と聞くとサイコロもイメージしやすいと思います。

ここでは「サイコロを1回振ると、どの程度の大きさの目が出る」かを計算できます。

ここでの計算方法はこちら。

例えばメジャーな6面サイコロでは、どの目が出る確率も6分の1です。

そのため、以下のような条件になります。

それぞれ1回ずつなので、そのまま全部の目の合計を出します。

この数値から「サイコロの目の種類の数」を割ります。

つまり「6面サイコロを1回振ると3.5が出ると期待できる」ことになります。

…まあ3.5なんて目は無いので、「3か4が出る」ということになるでしょうが。

8面サイコロでは？

ちなみに菱形の8面サイコロではこうなります。

各目が出る確率は8分の1のため、6面サイコロと同じような状態に。

同じように合計・平均化します。

8面サイコロの場合、1回振ったときの期待値は4.5という結果になります。

ダメージ計算

期待できるダメージ数値

ゲームなどで「会心率」や「クリティカル確率」というものがあると思います。

例えば「確率10%」なら、10回に一回クリティカルが出る、という意味です。

クリティカルを含めたダメージでも、期待値計算で実際に期待できるダメージを計算できます。

私はもっぱらゲーム「モンスターハンター」のダメージ計算で使ってます。

計算方式はこちら。

攻撃を100回した場合で考えるとわかりやすいです。

クリティカル率20%なら、通常ダメージ発生確率は80%（80回）。

クリティカル発生確率はそのまま20%（20回）となります。

で、それぞれのダメージ合計量を、合計回数の100で割っていきます。

例えば以下の条件の場合で計算していきます。

この場合は、クリティカルが出た際には「150」のダメージが出ます。

しかし確率が20%のため、クリティカルが出るのは100回中に20回となります。

ではこの場合の期待できるダメージはどうなるのか？

この場合は宝くじと同じように、100回攻撃した際の「通常ダメージ」と「クリティカルダメージ」の合計値の平均になります。

上の条件下で100回攻撃した際の総ダメージ量はこうなります。

この数値から攻撃1回あたりのダメージを計算。

これで攻撃1回あたりに期待できるダメージは110という値になります。

別のダメージ条件なら

ではダメージ値や確率が変更されたらどうなるか？

まずは以下の「B」の武器の場合。

通常ダメージこそ増えていますが、クリティカル率が5%に減っています。

この場合は「100回中5回クリティカルが出る」「クリティカルは180ダメージ」として計算されます。

この場合は攻撃1回あたりの期待ダメージが112に減少しています。

攻撃力が増えても、クリティカルが発生する確率が減ればダメージが減ります。

では逆に通常ダメージが減って、クリティカル確率が増えるとどうなるか？

「C」という武器の場合。

この場合は「100回中60回クリティカルが出る」「クリティカルは135ダメージ」となります。

通常ダメージは低くなっても、期待ダメージは117と微増しています。

結局は「リアルラック」

色々と確率における期待できる儲けの計算方法を書いてきました。

が、結局は現実の運がモノをいいます。

例え「1回あたり1000円の儲けが期待できる」といっても、結局は「アタリ」か「ハズレ」の2択。

私の場合は運が悪いのか、ゲームのダメージ計算では運に頼るより通常ダメージを上げたほうが結果が良くなる場合が多いくらいです。

これらの計算方法はあくまで「大量に買い込んだ」「回数をこなした」場合の推定結果の計算方法です。

たった1枚のくじではほとんど意味は無いです。

回数が無制限なスマホゲームのガチャでは、そもそも計算できないです。

いくら期待値が高いといっても、結局はギャンブル。

あまりハマりすぎないように注意しましょう。