宝くじなどの当選額の計算方法。宝くじ一枚の「期待値」を計算

その他・雑学その他

宝くじなどを買うとき「いったいいくら当たるのか?」と思う人もいると思います。

そんなときは「期待値」を計算すれば、暫定当選額を計算できます。

これは確率から量などを計算する場合、いろんな場面で利用できる計算方法です。

宝くじだけでなく、ゲームでのクリティカルダメージなどの計算でも使えたりします。

「期待値」とは?

「期待値」と少々大仰な名前ですが、いってしまえば全体の量に対する平均値のことです。

しかしここに「確率論」などが絡んでくるため、この期待値をややこしくしています。

簡単な計算方法は以下の通り。

(想定される量 × 確率(回数))÷ 全体の量

計算する対象によって各項目を計算する必要はありますが、計算方法の概念はコレです。

例えば、「想定される量」は宝くじの当選金額。

「確率(回数)」はそれがどのくらいあるのか。

「全体の量」は宝くじの販売枚数です。

…これだけだとわかりにくいので、実際に例を交えて解説していきます。

宝くじの期待値

宝くじ

宝くじの期待値の計算方法

まずは宝くじの期待値の計算方法です。

この期待値は宝くじ1枚にどの程度の当選額(価値)があるのかを計算できます。

まずは、この宝くじでの期待値は以下のようになります。

当選金額の全額 ÷ 宝くじの枚数

たったこれだけ。

計算式から「宝くじ1枚」の平均を出していると分かると思います。

例えば、以下のような条件の宝くじ「A」があるとします。

・販売枚数…1000枚
・1等100万円…1枚
・2等10万円…3枚
・3等3万円…6枚
・4等1000円…10枚
・5等100円…30枚
・ハズレ…950枚

Aの宝くじは、販売枚数が1000枚に対し、当たりくじは50枚。

「当たるか否か」で計算すれば、確率は5%です。

しかし「実際に当たるだろう金額(期待値)」となると話は別になります。

では、実際の計算してみましょう。

まずは当選金額の全額を計算します。

1等:100万円 × 1枚 = 100万円
2等:10万円 × 3枚 = 30万円
3等:3万円 × 6枚 = 18万円
4等:1000円 × 10枚 = 1万円
5等:100円 × 50枚 = 5万円
ハズレ:0円 ×950枚 = 0円

合計すると以下の金額に。

当選合計額:100万円 + 30万円 + 10万円 + 1万円 + 5万円 + 0円 = 146万円

例えば、この宝くじ全部を買い占めたとすれば、当選金額は合計146万円になります。

では宝くじ1枚の価値(期待値)はどうなるか?

この金額から、宝くじの枚数を割っていきます。

期待値:146万円 ÷ 1000枚 = 1460円

つまり、この宝くじの場合は宝くじ1枚あたり1460円の当選金額が期待できるということ。

このケースでは、1枚1000円で販売しているなら460円の儲けが。

しかし1枚2000円で販売していれば560円の損になると推測できます。

別の宝くじとの比較

では以下の条件の場合の宝くじ「B」では、どちらが儲けが出ると考えられるか?

・販売枚数…3000枚
・1等300万円…1枚
・2等30万円…3枚
・3等5万円…11枚
・4等2000円…25枚
・5等100円…60枚
・ハズレ…2900枚

販売枚数が3000枚、当たりくじは100枚に。

当選確率は3%と減っていますが、当選金額は倍以上になっています。

ではこの場合の期待値はどうなるのか?

当選合計額:300万円 + 90万円 + 55万円 + 50万円 + 5万円 + 0円 = 500万円
期待値:500万円 ÷ 3000枚 = 1666円

この宝くじでは1枚あたり1666円が推定される当選金額です。

仮にくじ1枚の値段が最初の宝くじと同じなら、こちらの宝くじのほうが当選金額は期待できることになります。

自分で選ぶ宝くじは?

補足として、「ロト6」や「ナンバーズ」のように、自分で数字を選らぶ宝くじはどうなるか?

これは「販売枚数」を「総組み合わせ数」に変えて計算すればOKです。

例えば「1~43の数字から、6つ選ぶ」ロト6の場合の組み合わせはこうなります。

( 43 × 42 × 41 × 40 × 39 × 38 )÷ ( 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 6,096,454

ロト6では約610万もの組み合わせがあります。

あとはこの数値を「販売数」に当てはめるだけです。

ただこれは各数字の組み合わせを1通りのみ選んだ場合です。

同じ組み合わせが2つ以上あると、計算が少々ややこしくなるので。

サイコロの期待値

サイコロの期待値の計算方法

「確率」と聞くとサイコロもイメージしやすいと思います。

ここでは「サイコロを1回振ると、どの程度の大きさの目が出る」かを計算できます。

ここでの計算方法はこちら。

サイコロの目の合計 ÷ 目の数

例えばメジャーな6面サイコロでは、どの目が出る確率も6分の1です。

そのため、以下のような条件になります。

1の目 × 1回 = 1
2の目 × 1回 = 2
3の目 × 1回 = 3
4の目 × 1回 = 4
5の目 × 1回 = 5
6の目 × 1回 = 6

それぞれ1回ずつなので、そのまま全部の目の合計を出します。

目の合計値:1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

この数値から「サイコロの目の種類の数」を割ります。

期待値:21 ÷ 6 = 3.5

つまり「6面サイコロを1回振ると3.5が出ると期待できる」ことになります。

…まあ3.5なんて目は無いので、「3か4が出る」ということになるでしょうが。

8面サイコロでは?

ちなみに菱形の8面サイコロではこうなります。

1の目 × 1回 = 1
2の目 × 1回 = 2
3の目 × 1回 = 3
4の目 × 1回 = 4
5の目 × 1回 = 5
6の目 × 1回 = 6
7の目 × 1回 = 7
8の目 × 1回 = 8

各目が出る確率は8分の1のため、6面サイコロと同じような状態に。

同じように合計・平均化します。

目の合計値:1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36
期待値:36 ÷ 8 = 4.5

8面サイコロの場合、1回振ったときの期待値は4.5という結果になります。

ダメージ計算

ゲーム ダメージ

期待できるダメージ数値

ゲームなどで「会心率」や「クリティカル確率」というものがあると思います。

例えば「確率10%」なら、10回に一回クリティカルが出る、という意味です。

クリティカルを含めたダメージでも、期待値計算で実際に期待できるダメージを計算できます。

私はもっぱらゲーム「モンスターハンター」のダメージ計算で使ってます。

計算方式はこちら。

( ( 通常ダメージ × 通常ダメージ発生確率 ) + ( クリティカルダメージ × クリティカル発生確率 ) ) ÷100

攻撃を100回した場合で考えるとわかりやすいです。

クリティカル率20%なら、通常ダメージ発生確率は80%(80回)。

クリティカル発生確率はそのまま20%(20回)となります。

で、それぞれのダメージ合計量を、合計回数の100で割っていきます。

例えば以下の条件の場合で計算していきます。

・通常ダメージ…100
・クリティカル確率…20%
・クリティカルダメージ…×1.5

この場合は、クリティカルが出た際には「150」のダメージが出ます。

しかし確率が20%のため、クリティカルが出るのは100回中に20回となります。

ではこの場合の期待できるダメージはどうなるのか?

この場合は宝くじと同じように、100回攻撃した際の「通常ダメージ」と「クリティカルダメージ」の合計値の平均になります。

通常ダメージ:100 × 80回 = 8000
クリティカル:150 × 20回 = 3000

上の条件下で100回攻撃した際の総ダメージ量はこうなります。

総ダメージ量:8000 + 3000 = 11000

この数値から攻撃1回あたりのダメージを計算。

期待値:11000 ÷ 100 = 110

これで攻撃1回あたりに期待できるダメージは110という値になります。

別のダメージ条件なら

ではダメージ値や確率が変更されたらどうなるか?

まずは以下の「B」の武器の場合。

・通常ダメージ…110
・クリティカル確率…5%
・クリティカルダメージ…×1.5

通常ダメージこそ増えていますが、クリティカル率が5%に減っています。

この場合は「100回中5回クリティカルが出る」「クリティカルは180ダメージ」として計算されます。

総ダメージ量:( 120 × 95 ) + ( 225 × 5 ) = 11275
期待値:11275 ÷ 100 = 112.75

この場合は攻撃1回あたりの期待ダメージが112に減少しています。

攻撃力が増えても、クリティカルが発生する確率が減ればダメージが減ります。

では逆に通常ダメージが減って、クリティカル確率が増えるとどうなるか?

「C」という武器の場合。

・通常ダメージ…90
・クリティカル確率…60%
・クリティカルダメージ…×1.5

この場合は「100回中60回クリティカルが出る」「クリティカルは135ダメージ」となります。

総ダメージ量:( 90 × 40 ) + ( 135 × 60 ) = 11700
期待値:11700 ÷ 100 = 117

通常ダメージは低くなっても、期待ダメージは117と微増しています。

結局は「リアルラック」

色々と確率における期待できる儲けの計算方法を書いてきました。

が、結局は現実の運がモノをいいます

例え「1回あたり1000円の儲けが期待できる」といっても、結局は「アタリ」か「ハズレ」の2択。

私の場合は運が悪いのか、ゲームのダメージ計算では運に頼るより通常ダメージを上げたほうが結果が良くなる場合が多いくらいです。

これらの計算方法はあくまで「大量に買い込んだ」「回数をこなした」場合の推定結果の計算方法です。

たった1枚のくじではほとんど意味は無いです。

回数が無制限なスマホゲームのガチャでは、そもそも計算できないです。

いくら期待値が高いといっても、結局はギャンブル。

あまりハマりすぎないように注意しましょう。